数学教学中的应用

化归思想在中学数学教学中的应用化归思想及其在中学数学教学中的应用

摘要：化归思想方法是一种重要的思想方法，中学数学离不开化归思想。在数学的解题方法中，化归思想对于提高解题效率，提高学生分析问题和解决问题的能力，具有重要的作用。本文结合数学教法，通过案例分析化归思想在教学中的应用，讨论在教学中如何加强化归思想方法的渗透以及在渗透化归方法时应注意哪些问题等。并提出了加强化归思维的教学对策，培养学生的化归意识和学习的能力。化归思想方法是一种重要的数学思想方法，在数学学习及问题的解决中有着十分重要的作用。求解一个数学问题，直接对它求解，我们有时会感到束手无策，若我们换个角度，把问题转化为另一个简单的问题或者我们熟悉的问题，那么问题也就解决了，这就是所谓的化归思想方法。在教学工作中，培养数学思想就是对数学知识和方法的本质认识，它是数学的灵魂，因此在数学教学中，既要教知识，更要教数学思想方法；学习数学，不仅要学习它的概念、公式、定理、法则，更重要的是学习由这些内容反映出来的数学思想。学生分析问题和解决问题的能力是数学教学的一个重要目的，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，这方面能力的高低可以看出学生解题的素质、掌握知识的程度和运用知识的能力，而几乎所有的问题的解决都离不开化归。可见，数学中的化归方法是一种重要的解题方法，也是一个重要解题策略和思维方式。在教学工作中，结合教学内容，有目的、有计划地将化归思想方法渗透到教学之中，能起到提高学生能力和培养学生素养的远期作用。

1化归思想的概述

1。1化归的概念化：转化；归：归结；“化归”是转化和归结的简称。所谓化归方法，是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某些已解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。化归的本质就是以运动变化发展的观点看待问题。根据事物间的特点转化矛盾，从而使问题得以解决。其具有问题的转化性，对问题求解的间接性，后瞻性，简捷性等特征。化归的要素主要包括：（1）化归对象，即把什么东西进行化归；（2）化归目标，即化归到何处去；（3）化归的途径或方法，即如何进行化归。1。2化归的模式化归思想方法是解决学问题的一种重要方法。我们在解决某数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而B问题是相对较易解决或已经有固定解决模式的问题，通过对问题B的解而达到问题A的解决。其中，问题B常常被称着为化归目标或化归方向，转化的手段称为化归的策略。1。3化归的核心思想及方向化归的核心思想，是在对新问题仔细研究的基础上展开丰富的联想，以唤起对有关旧知识的回忆，借助旧知识，旧经验来处理面临的新问题。由化归的定义我们可知，在用化归思想解决问题时，有一个重要的条件是：和原来的问题相比，化归后得出的问题必须是较为容易的、较为简单的或者已经解决了的，所以化归的方向应当是：从未知到已知，从难到易，从繁到简。着眼点在于发现新旧问题间的联系，从而使问题模式化，规范化。

2化归思想在中学数学中的应用

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2。1化归思想在数学新知识学习中的应用化归思想在数学新知识学习中的应用很广，我们对新概念的学习，往往是建立在旧知识的基础上进行的。例如：我们对代数的学习是从研究简单的数式开始的，复杂的数式都是通过变换，归结为简单的数式从而获得解决。在解一元一次方程组和一元二次方程时，仍离不开解一元一次方程，解决问题的方法即是将问题转化为一元一次方程，然后解一元一次方程而得到问题的解。对几何的学习我们一般是从简单几何入手的，我们对向量的减法的学习，也是将其转化为向量加法来理解。新知识到旧知识之间的联系，关键的一步就是：转化。在数学中有一种重要的证明方法：数学归纳法，它也离不开化归方法。2。2在解题中的应用化归思想在在数学解题中的应用比比皆是，立体几何中相关的证明题、计算题，我们多则将其转化到平面几何中来解决，或者是将其转化到向量空间中去解决；多数三角函数的计算或证明题，我们在直接解决时有时会感到很吃力，若换个角度，运用数形结合的思想，将抽象问题转化到直观图形中，问题就容易解决多了。对复杂、非特殊的数列的求和问题，我们也是将其转化到较为简单、特殊的数列来进行求和的。多数数学问题的解决都离不开化归思想方法，只是所体现的形式不同罢了。总的来说，我们在解数学题时，计算题是利用规定的法则进行化归，证明题是利用公式、定理或已经证明了的命题化归，从而使问题得以解决。一般来说，常见的划归方法主要有（1）抽象问题具体化，很多数学问题是各种信息和知识的高度浓缩和抽象，对于抽象的问题，我们直接对其求解，很难找到解决问题的突破口，有时甚至会陷入困境。如果我们改变方向，将抽象的问题转化为与之等价的具体问题，问题就容易解决多了。（2）化繁为简，陌生问题化为熟悉问题，解答数学问题的过程，事实上是一种连续化简的过程。我们在解决问题时是一步一步地寻求问题解决的，即是在使问题的实质不变的情况下，连续地把问题化简，把我们比较陌生的问题逐步地化为我们熟知的问题，最后简到能找到答案。3化归思想在教学中的渗透

3。1化归思想在数学课堂中的渗透数学思想是教材体系的灵魂，它支配着整个教材，使数学概念，命题，问题的解决相互紧扣，相互支持，从而组成一个完整的联合体系。化归思想方法在高中数学教材中出现的频数相当大，他渗透在教材的各个还节中有些奋发向上的教师，把奋发集中在解题之上，自己多做题，也让学生多做题，就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。这不是没必要，深厚解题功底是获得数学理解的基础，问题是不能只停留在这个初级阶段，还要理解这些操作背后的思想方法。一般来讲，数学问题的求解都是运用已知条件，对问题进行一连串的转化，从而达到解题目的的一个探索过程。我们在引导学生用化归思想解题时，先分析解题的过程与步骤，找出每一步的内容与作用，组织为整体的内容与作用，引导学生从解题的过程中提炼出解题的实质，于是，化归思想方法就浮现了。在此基础上再向学生讲解化归方法，然后用有关化归方法的题来使学生对此方法的加强与巩固。3。2如何加强化归思想方法的渗透3。2。1提高渗透的自觉性和可行性化归思想方法不像概念、法则、公式等知识那样明显地写在教材中，它隐含在数学知识的体系里，并不成体系地隐含于教材的各章节中，是一种无形的知识。作为教师首先要更新观念，把化归思想方法融入各备课还节，要深入专研教材，努力挖掘教材中可以进行化归思想方法渗透的各因素，对于每一个有关化归思想的知识点，都要考虑如何结合具体内容进行化归思想方法的渗透，包括怎么渗透，渗透到什么程度等。在进行化归思想方法的教学时要注意有机结合和自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学知识中的化归思想方法。把掌握数学知识和渗透化归思想方法同时纳入教学目标，从思想上不断提高对渗透化归思想方法重要性的认识。3。2。2强调方法的提炼和加强方法的指导解题是学生学习数学的主要方式，也是教师教学的重要手段。因此教师应注意：在设计问题时要注意蕴涵化归思想方法；在知识发生形成的过程中，要揭示化归思想方法；在例题教学的时候，要突出化归思想方法；在解题的训练中要运用化归思想方法；在总结知识的同时也要总结化归思想方法。在引导学生解决问题时，要让学生从解题的技巧中，发现方法的产生、应用和发展过程，并从中提炼出化归思想方法，理解化归方法的本质。在此基础上，进一步指导学生掌握方法的一招一式，并不断地通过一些相关的例题来让学生加强对方法的巩固。3。2。3反复再现，逐步渗透“数学知识是逐步深化的，这就导至了在知识发展的各阶段反映出的数学思想方法的层次性。我们在进行问题的解决时会出现多次化归的情形，并且有时化归的方向是不一样的。所以，对于化归方法的应用，我们应该注意其在不同知识阶段的再现，和学生共同探索化归方法在不同阶段逐步形成的过程，启发学生的思维，加强对化归思想方法的认识。由于化归思想方法是在启发学生思维过程中逐步形成的，因此，在教学中，首先要特别强调解决问题后的“反思”，在这个过程中提炼出来的化归方法，对于学生来说较易于体会，易于接受。同时，我们还应该注意到，化归思想方法的渗透并不是一朝一夕就能见到学生能力的提高的，此结果是要有一个过程的，是不断积累的，因此，化归思想方法必须经过循序渐进的反复训练，才能使学生真正的有所领悟，有所掌握。3。3在进行化归思想的渗透时应该注意的一些问题化归思想方法是问题解决的一种重要方法，多数的数学问题的解决都离不开化归，如何正确应用化归思想方法是我们应首先面对的问题。有时我们用化归方法解题时，问题已经转化了，但还是找不到解决问题途径，与原来的问题相比，问题变得越来越复杂或者是问题已经和原来的问题的本质不一样了。因此，在进行化归解题时，我们还应当注意某些问题。3。3。1注意化归的方向从化归的定义我们也知道，化归的一个重要的条件应当是：和原来的问题相比，化归后得出的问题必须是较为容易的，较为简单的或者已经解决了的，从策略上讲，方向关乎全局，如果我们在化归时没有辨清方向，难免会导致计算的复杂。同时，我们在进行化归时还应该注意化归的等价性，即化归后的问题与原问题是之间存在一定的等价关系。3。3。2注意“化不归”的情形存在有时我们会碰上这样的情形，即提出了问题，却无法实现问题向问题的转化，我们称这样的情形为化不归。其实，这样的情形无论是在科学研究中还是在现实生活中都是经常发生的。然而在我们的教学实践中，我们给学生设计的问题都是能够转化的情形，却忽略大量的化不归的情形，因此，我们还应注意这方面的存在，让学生知道也有化不归的情形存在。3。3。3克服化归的副作用化归方法是一种比较实用的方法，但它同样也会存在副作用。如果我们在研究数学问题时一味地寻求旧的模式与解题经验，就容易陷入思维的定式，会对发展学生的数学创新意识产生消极的影响。因此，我们在进行化归思想的教学时，应该引导学生灵活运用，切记生搬硬套，尽量克服化归的副作用。

4小结

数学有两种不同的水平，低级水平是介绍概念，陈述数学定理和公式，指出解题的过程和套路，高级水平则着眼于数学知识背后的数学思想方法。数学教学过程是学生在教师的指导下，学习数学知识，发展数学思维能力的过程，在平时的教学中，经常地进行化归思想教学，针对不同的问题，慎密思考，及时总结各种转化方法，把隐含在知识中的数学思想方法提炼出来，学生的解题能力和灵活性会逐步地得到提高，这是培养学生良好思维品质，提高思维能力的有效途径和方法。数学学科的内容，始终反映着数学基础知识和数学思想方法，前者是有形的，后者是无形的。因此，在数学教学中，既要教知识，更要教数学思想方法。要结合教学内容，有目的、有计划地将化归思想方法渗透到教学之中，起到培养能力和提高素质的作用。