李善兰：清代数学家

李善兰（1811年1月22日 1882年12月9日），原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。浙江海宁人，是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式，研究各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式（现称 自然数幂求和公式 ），这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。李善兰出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁（今河南开封）人李伯翼。伯翼一生读书论道、不乐仕进。元初，其子李衍举贤良方正，援朝请大夫嘉兴路总管府同知，全家定居海宁县硖石镇。500年来，传宗接代至17世孙，名叫李祖烈，号虚谷先生，治经学。祖烈初娶望海县知县许季溪的孙女为妻，不幸许氏早殇；继娶妻妹填房，又病故。后续弦崔氏，系名儒崔景远之女。崔氏生三子：心兰（善兰）、心梅、心葵，并一女。心梅亦通晓数学。李善兰早年在家乡娶妻许氏，无子；晚年在北京纳妾米氏，仍未得子；乃过继外甥崔敬昌为嗣。敬昌字吟梅，曾任江海关文牍。李善兰自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。他资禀颖异，勤奋好学，于所读之诗书，过目即能成诵。9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著 《九章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷，这是明末徐光启（1562 1633）、利玛窦（M．Ricci，1522 1610）合译的古希腊数学名著。欧氏几何严密的逻辑体系，清晰的数学推理，与偏重实用解法和计算技巧的中国古代传统数学思路迥异，自有它的特色和长处。李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他的数学造诣日趋精深。几年后，作为州县的生员，李善兰到省府杭州参加乡试。因为他 于辞章训诂之学，虽皆涉猎，然好之总不及算学，故于算学用心极深 （李善兰《则古昔斋算学》自序），结果八股文章做得不好，落第。但他却毫不介意，而是利用在杭州的机会，留意搜寻各种数学书籍，买回了李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》，仔细研读，使他的数学水平有了更大提高。海盐人吴兆圻《读畴人书有感示李壬叔》诗中说： 众流汇一壑，雅志说算术。

中西有派别，圆径穷密率． 三统探汉法，余者难具悉．余方好兹学，心志穷专一。 许祥《硖川诗续钞》注曰： 秋塍（吴兆圻）承思亭先生家学，于夕桀、重差之术尤精．同里李壬叔善兰师事之。 看来，李善兰曾拜吴兆圻为师，学习过数学。李善兰在故里与蒋仁荣、崔德华等亲朋好友组织 鸳湖吟社 ，常游 东山别墅 ，分韵唱和，其时曾利用相似勾股形对应边成比例的原理测算过东山的高度。他的经学老师陈奂在《师友渊源记》中说他 孰习九数之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便易稽考 。余楙在《白岳诗话》中说他 夜尝露坐山顶，以测象纬踌次 。至今李善兰的家乡还流传着他在新婚之夜探头于阁楼窗外观测星宿的故事。1840年，鸦片战争爆发，帝国主义列强入侵中国的现实，激发了李善兰科学救国的思想。他说： 呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。 异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震摄，奉朝贡． （李善兰《重学》序）从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。1845年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者（主要是数学家）顾观光（1799 1862）、张文虎（1808 1885）、汪曰桢（1813 1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于 尖锥术 的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。其后，又撰《四元解》、（麟德术解》等。1851年，李善兰与著名数学家戴煦（1805 1860）相识．戴煦于1852年称： 去岁获交海昌壬叔李君， 缘出予未竟残稿请正，而壬叔颇赏予余弧与切割二线互求之术，再四促成，今岁又寄扎询及，遂谢绝繁冗，扃户抄录，阅月乃竟．嗟乎！友朋之助，曷可少哉？ （戴煦《外切密率》自序）李善兰与友人在学术上相互切磋，取长补短，他与数学家罗士琳（1774 1853）、徐有壬（1800 1860）也 邮递问难，常朝覆而夕又至 （崔敬昌《李壬叔征君传》）。1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传教士展阅、受到伟烈亚力（A．Wylie，1815 1887）等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方科学著作的生涯。李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后九卷．在译《几何原本》的同时，他又与艾约瑟（J．Edkins，1823 1905）合译了《重学》20卷。其后，还与伟烈亚力合译了《谈天》18卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷，与韦廉臣（A．William－son，1829 1890）合译了《植物学》8卷。以上几种书均于1857至1859年间由上海墨海书馆刊行。此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（J．Fryer）合译过《奈端数理》（即牛顿《自然哲学的数学原理》），可惜没有译完，未能刊行。1860年，李善兰在江苏巡抚徐有壬幕下作幕宾．太平军占领苏州后，他留在那儿的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽．从此他 绝意时事 ，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。其间，他与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。1861年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811 1872）在安徽筹建安庆内军械所，并邀著名化学家徐寿（1811 1884）、数学家华蘅芳（1833 1902）入幕。李善兰也于1862年被 聘入戎幄，兼主书局 。他一到安庆，就拿出 印行无几而板毁 于战火的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎、张斯桂等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科学技术方面的活动。1864年夏，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰等也跟着到了南京，他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到曾国藩的支持和资助，于是有1865年金陵刊本《几何原本》15卷和1867年金陵刊本《则古昔斋算学》24卷问世．与此同时（1866），在南京开办金陵机器局的李鸿章（1823 1901）也资助李善兰重刻《重学》20卷并附《圆锥曲线说》3卷出版。

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1866年，在北京的京师同文馆内添设了天文算学馆，广东巡抚郭嵩焘（1817 1891）上疏举荐李善兰为天文算学总教习，但李善兰忙于在南京出书，到1868年才北上就任。从此他完全转向于数学教育和研究工作，直至1882年去世。其间所教授的学生 先后约百余人。口讲指画，十余年如一日。诸生以学有成效，或官外省，或使重洋 （崔敬昌《李壬叔征君传》），知名者有席淦、贵荣、熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春等。晚年，获得意门生江槐庭、蔡锡勇二人，即致函华蘅芳，称 近日之事可喜者，无过于此，急欲告之阁下也 。这些人在传播近代科学特别是数学知识方面都起过重要作用。李善兰到同文馆后，第二年（1869）即被 钦赐中书科中书 （从七品卿衔），1871年加内阁侍读衔，1874年升户部主事，加六品卿员外衔，1876年升员外郎（五品卿衔），1879年加四品卿衔，1882年授三品卿衔户部正郎、广东司行走、总理各国事务衙门章京。一时间，京师各 名公钜卿，皆折节与之交，声誉益噪 （蒋学坚《怀亭诗话》）。但他依然孜孜不倦从事同文馆教学工作，并埋头进行学术著述，1872年发表《考数根法》，1877年演算《代数难题》，1882年去世前几个月， 犹手著《级数勾股》二卷，老而勤学如此 （崔敬昌《李壬叔征君传》）。李善兰在数学方面的研究成果主要见于其所著《则古昔斋算学》13种24卷和题为 《则古昔斋算学》十四 的《考数根法》。1867年刊行的《则古昔斋算学》收录他20多年来的各种天算著作，计有《方圆阐幽》1卷（1845）、《弧矢启秘》2卷（1845）、《对数探源》2卷（1845）、《垛积比类》4卷、《四元解》2卷（1845）、《麟德术解》3卷（1848）、《椭圆正术解》2卷、《椭圆新术》1卷、《椭圆拾遗》3卷、《火器真诀》1卷（1858）、《对数尖锥变法释》1卷、《级数回求》1卷、《天算或问》1卷．《考数根法》则发表于1872年的《中西闻见录》第二、三、四号上。李善兰的其他数学著述还有《测圆海镜解》、《测圆海镜图表》、《九容图表》、《粟布演草》、《同文馆算学课艺》和《同文馆珠算金踌针》等多种。李善兰的数学成就主要有尖锥术、垛积术、素数论三个方面。个人作品1840年著成《天算或问》一书，这是他最早的数学著作。1845年发表了《方圆阐幽》、《弧矢启秘》和《对数探源》。1846年发表了《四元解》2卷，并由顾观光作序。1848年又自序发表了《麟德历解》3卷。1852年，他到上海，与英国传教士伟烈亚力等人合作，开始从事西方数学书籍的翻译工作，间或也翻译一些有关力学、天文学和其他学科的书籍。与英国人伟烈亚力合译了《几何原本》后9卷，于1856年完成。1856年后，他先后著有《椭圆正术解》2卷、《椭圆新术》1卷、《椭圆拾遗》3卷、《史器真决》1卷、《尖锥变法解》1卷、《级数四术》1卷、《垛积比类》4卷。1859年由墨海书馆出版了他们合译的《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷、《谈天》18卷。同时，他又与艾约瑟共译《重学》20卷、《圆锥曲线说》3卷。期间，他还与伟烈亚力、傅兰雅合译了牛顿的名著《自然哲学的数学原理》若干卷。他的这些工作与随后的华蘅芳、夏鸾翔等人对西方数学所作的有价值的研究，构成了继徐光启之后在中国的第二次西方数学的引进，对中国近代数学的发展起了积极的作用。他在译作中创造了许多数学名词和术语，如微分、函数等，都译得相当贴切，相当多的名词一直沿用至今。1860年起，他先后在徐有壬、曾国藩军中作幕僚，与化学家徐寿、数学家华蘅芳等人一起，积极参与洋务运动中的科技学术活动。

教育事业1868年，李善兰被荐任北京同文馆天文算学总教习，直至1882年他逝世为止，从事数学教育十余年，其间审定了《同文馆算学课艺》、《同文馆珠算金踌针》等数学教材，培养了一大批数学人才，是中国近代数学教育的鼻祖。数学成就李善兰在数学研究方面的成就，主要有尖锥术、垛积术和素数论三项。尖锥术理论主要见于《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》三种著作,成书年代约为1845年,当时解析几何与微积分学尚未传入中国。李善兰创立的 尖锥 概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对 尖锥曲线 的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程他创造的 尖锥求积术 。相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则。他用 分离元数法 独立地得出了二项平方根的幂级数展开式结合 尖锥求积术 ，得到了 的无穷级数表达式。各种三角函数和反三角函数的展开式，以及对数函数的展开式。在使用微积分方法处理数学问题方面取得了创造性的成就。垛积术理论主要见于《垛积比类》,写于1859～1867年间，这是有关高阶等差级数的著作。李善兰从研究中国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果。例如， 三角垛有积求高开方廉隅表 和 乘方垛各廉表 实质上就是组合数学中著名的第一种斯特林数和欧拉数。驰名中外的 李善兰恒等式 。自20世纪30年代以来，受到国际数学界的普遍关注和赞赏。可以认为，《垛积比类》是早期组合论的杰作。

素数论主要见于《考数根法》，发表于1872年，这是中国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真。李善兰翻译生涯1852-1859年，李善兰在上海墨海书馆与英国传教士、汉学家伟烈亚力等人合作翻译出版了《几何原本》后九卷，以及《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《圆锥曲线说》、《植物学》等西方近代科学著作，又译《奈端数理》（即牛顿《自然哲学的数学原理》）四册（未刊），这是解析几何、微积分、哥白尼日心说、牛顿力学、近代植物学传入中国的开端。李善兰的翻译工作是有独创性的，他创译了许多科学名词，如 代数 、 函数 、 方程式 、 微分 、 积分 、 级数 、 植物 、 细胞 等,匠心独运,切贴恰当，不仅在中国流传,而且东渡日本,沿用至今。翻译出版著作咸丰九年，《几何原本》后七卷一起刊行于世，因战争，原版被毁﹐后又于同治五年由李鸿章重刊，光绪十四年上海六合书局又石印出版。《重学》一书的翻译出版较系统地把牛顿运动定律等经典力学知识介绍到中国。李善兰又和伟烈亚力合译了侯失勒（今译J.赫歇耳）的《谈天》一书，第一次把万有引力定律及天体力学知识介绍到中国。不久，李善兰又译了奈端的《数理格致》（即牛顿的《自然哲学的数学原理》）一书的前3卷，后因故中断。1867年他在南京出版《则古昔斋算学》，汇集了二十多年来在数学、天文学和弹道学等方面的著作，计有《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》、《垛积比类》、《四元解》、《麟德术解》、《椭圆正术解》、《椭圆新术》、《椭圆拾遗》、《火器真诀》、《对数尖锥变法释》、《级数回求》和《天算或问》等13种24卷，共约15万字。他的数学著作，除《则古昔斋算学》外,尚有《考数根法》、《粟布演草》、《测圆海镜解》、《九容图表》，而未刊行者，有《造整数勾股级数法》、《开方古义》、《群经算学考》、《代数难题解》等。人物影响在19世纪把西方近代物理学知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。继梅文鼎之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。自20世纪30年代以来，李善兰受到国际数学界的普遍关注和赞赏。